“歪果仁”是怎么“画”出乘法结果的？(转载）

竟能直接画出较复杂乘法算式的结果，真是一个了不起的创意！但是，为什么数交叉点就能得到正确结果呢？
让我们来标出相关的数位，将图形与竖式作一番比较和分析。（如下图）不难发现，由虚线所隔开的①—⑤区域中的点正好分别对应着几个万（百乘百）、几个千（十乘百和百乘十）、几个百（一乘百、十乘十和百乘一）、几个十（十乘一和一乘十）和几个一（一乘一）。如此一来，每个区域中的每堆交叉点就是乘法竖式中间结果的另一种表达形式。竖式中先用口诀算再相加的过程，在点线图中变成了直接数点子的过程。

至此，我想到了早在十五世纪就由国外传入中国的方格乘法，即很多人较熟知的“铺地锦”算法。

如上图，将原来的点线图“拉”正，再用“数”来代替“点”“线”，并画上方格和斜线（每个方格所对应的乘数相乘，所得的积就填在相应方格内。其中，斜线将每个方格分成两位，若乘得的积不足两位，就用“0”占位），即得到方格乘法。可见，国人早就熟知的“方格乘法”正是前面“画线乘法”的“升级版”。

孰优孰劣

再次回到最为基本的“画线乘法”上来，与竖式乘法相比，这一方法虽不够简洁，却也另有巧妙。
其一，关注本质，突出要义。用线表示数，用间隔区分不同数位，不同区域的交叉点总数正是竖式中几乘几的结果。使用这一方法，不仅能直接数出结果，而且几乘几及其所表示的含义“几个几相加”能从图中一目了然地直接感知，能进一步加深学生对于乘法意义的理解。
其二，数形结合，激发兴趣。“数形结合”是数学学习研究中一种常用而又重要的思想方法。将抽象的“数”转化成形象的“线”“点”，让学生根据简单规则在“画”“数”的过程中得出乘法算式的结果，既能体现“数形结合”这一思想的妙处，也有助于激起学习数学的兴趣，培养实践精神。
既如此，我们的乘法计算教学究竟如何取舍？是简洁地算，还是形象地画？“画线乘法”“方格乘法”和“竖式乘法”到底如何洋为中用、古为今用？

运用之妙，存乎一心

一直以来，枯燥、单调是计算教学中特别容易出现的问题。为了避免这一现象，《义务教育数学课程标准》（2011年版）特别强调计算教学应“在现实生活中抽象”“在具体情境中理解”，以加强与现实生活的联系，让枯燥、单调的计算过程变得生动、鲜活，从而激起学生的学习兴趣，同时帮助理解计算的意义、体会算理算法、感悟数学思想方法。
不过，只利用生活与情境解决枯燥、单调的问题，总觉得还不够。“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”（华罗庚语）数学学科有着其本身的魅力和其固有的内在之美。如果用计算独特的内在美来吸引学生，岂不更好？
至此，关于乘法计算教学的一个思路在我的头脑中逐渐清晰起来：先结合情境，理解意义，巩固算法，再介绍其他方法。
比如，在“乘数是两位数的乘法”教学后期，可以安排如下教学环节。

师：除了列竖式计算21×13，其实还有其他方法可以得到它的结果。有人用了画的方法。（完整演示21×13的画图法）看明白了吗？是怎么画的呢？
出示：21×34，24×13。
请在上面的两道算式中任选一题，用像刚才那样画的方法得到结果，再列竖式验证。
学生独立尝试。
师：果然，用画的方法也可以得到正确结果。不过，在学习的过程中，很多时候我们不仅要知道怎么做，更要知道为什么这样做。
出示：

师：比一比，你能发现这两种方法之间的联系吗？算式中的6表示6个十，点线图中的6呢？师：学无止境，除了这两种方法，还有其他方法能帮助我们得到21×13的结果吗？
教师介绍“方格乘法”。……

在情境中探究竖式的算法、算理后，介绍“画线乘法”“方格乘法”，打破学生的习惯桎梏，发散学生的思维，让学生知道结果不仅能算出来，也能如此画出来。再让学生去发现、理解新方法的奥秘，感受数学的方法美、奇异美，并在两种乃至三种方法的学习和比较中体悟数学的和谐美、简洁美。如此，不仅能更好地培养学生的思维能力、创造能力，也能让学生充分体验数学之美，从而喜欢数学。

“运用之妙，存乎一心”，在平时的课堂中，若我们能不止于教材，广泛取舍，将诸多资源巧妙糅合，努力为学生创造融会贯通、积极思考的机会，相信我们的数学课堂能更好地焕发生命的活力。
（本文选自《小学数学教师》2015年第9期；题图来自网络）