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“歪果仁”是怎么“画”出乘法结果的?(转载)

竟能直接画出较复杂乘法算式的结果,真是一个了不起的创意!但是,为什么数交叉点就能得到正确结果呢?
让我们来标出相关的数位,将图形与竖式作一番比较和分析。(如下图)不难发现,由虚线所隔开的①—⑤区域中的点正好分别对应着几个万(百乘百)、几个千(十乘百和百乘十)、几个百(一乘百、十乘十和百乘一)、几个十(十乘一和一乘十)和几个一(一乘一)。如此一来,每个区域中的每堆交叉点就是乘法竖式中间结果的另一种表达形式。竖式中先用口诀算再相加的过程,在点线图中变成了直接数点子的过程。


至此,我想到了早在十五世纪就由国外传入中国的方格乘法,即很多人较熟知的“铺地锦”算法。

如上图,将原来的点线图“拉”正,再用“数”来代替“点”“线”,并画上方格和斜线(每个方格所对应的乘数相乘,所得的积就填在相应方格内。其中,斜线将每个方格分成两位,若乘得的积不足两位,就用“0”占位),即得到方格乘法。可见,国人早就熟知的“方格乘法”正是前面“画线乘法”的“升级版”。

孰优孰劣

再次回到最为基本的“画线乘法”上来,与竖式乘法相比,这一方法虽不够简洁,却也另有巧妙。
其一,关注本质,突出要义。用线表示数,用间隔区分不同数位,不同区域的交叉点总数正是竖式中几乘几的结果。使用这一方法,不仅能直接数出结果,而且几乘几及其所表示的含义“几个几相加”能从图中一目了然地直接感知,能进一步加深学生对于乘法意义的理解。
其二,数形结合,激发兴趣。“数形结合”是数学学习研究中一种常用而又重要的思想方法。将抽象的“数”转化成形象的“线”“点”,让学生根据简单规则在“画”“数”的过程中得出乘法算式的结果,既能体现“数形结合”这一思想的妙处,也有助于激起学习数学的兴趣,培养实践精神。
既如此,我们的乘法计算教学究竟如何取舍?是简洁地算,还是形象地画?“画线乘法”“方格乘法”和“竖式乘法”到底如何洋为中用、古为今用?

运用之妙,存乎一心

一直以来,枯燥、单调是计算教学中特别容易出现的问题。为了避免这一现象,《义务教育数学课程标准》(2011年版)特别强调计算教学应“在现实生活中抽象”“在具体情境中理解”,以加强与现实生活的联系,让枯燥、单调的计算过程变得生动、鲜活,从而激起学生的学习兴趣,同时帮助理解计算的意义、体会算理算法、感悟数学思想方法。
不过,只利用生活与情境解决枯燥、单调的问题,总觉得还不够。“就数学本身而言,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美。”(华罗庚语)数学学科有着其本身的魅力和其固有的内在之美。如果用计算独特的内在美来吸引学生,岂不更好?
至此,关于乘法计算教学的一个思路在我的头脑中逐渐清晰起来:先结合情境,理解意义,巩固算法,再介绍其他方法。
比如,在“乘数是两位数的乘法”教学后期,可以安排如下教学环节。

师:除了列竖式计算21×13,其实还有其他方法可以得到它的结果。有人用了画的方法。(完整演示21×13的画图法)看明白了吗?是怎么画的呢?
出示:21×34,24×13。
请在上面的两道算式中任选一题,用像刚才那样画的方法得到结果,再列竖式验证。
学生独立尝试。
师:果然,用画的方法也可以得到正确结果。不过,在学习的过程中,很多时候我们不仅要知道怎么做,更要知道为什么这样做。
出示:

师:比一比,你能发现这两种方法之间的联系吗?算式中的6表示6个十,点线图中的6呢?师:学无止境,除了这两种方法,还有其他方法能帮助我们得到21×13的结果吗?
教师介绍“方格乘法”。……

在情境中探究竖式的算法、算理后,介绍“画线乘法”“方格乘法”,打破学生的习惯桎梏,发散学生的思维,让学生知道结果不仅能算出来,也能如此画出来。再让学生去发现、理解新方法的奥秘,感受数学的方法美、奇异美,并在两种乃至三种方法的学习和比较中体悟数学的和谐美、简洁美。如此,不仅能更好地培养学生的思维能力、创造能力,也能让学生充分体验数学之美,从而喜欢数学。

“运用之妙,存乎一心”,在平时的课堂中,若我们能不止于教材,广泛取舍,将诸多资源巧妙糅合,努力为学生创造融会贯通、积极思考的机会,相信我们的数学课堂能更好地焕发生命的活力。
(本文选自《小学数学教师》2015年第9期;题图来自网络)

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