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《数的领域与扩充》

《数的领域与扩充》

对于每一个人来说,学数学都是从数字开始,数是人类表达世界的方法之一,它如同一个古老的王国,历经千年,经历了多次开疆扩土。从自然数(N)→整数(Z)→有理数(Q)→实数(R)→复数(C),数往哪个方向扩充取决于狼烟在哪里升起!

今天我们就一起走进数系发展史,领略数的风采:

一、自然数的产生

自然数是我们最熟悉不过的数了,人们从一个苹果、一只小兔这些事物中抽象出了一种共同的特性,就是数字。不要小看它,这就是数学史上的第一次抽象。

负数的产生

而负数的产生使得数的领域扩充到了整数。

人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,做生意有盈利有亏损;货物有进也有出,为了解决这些人们在生产实践中遇到的问题,负数便相应的产生了。

因为负数给人们的生产生活带来了极大的方便,所以,早在2000多年前,我国数学家刘徽就给出了正负数的定义,他说:“今两算得失相反,要令正负以名之。”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分。同时,给出了区分正负数的方法。他说:“正算赤,负算黑;否则以斜正为异”意思是说,用红色的小棍摆出的数表示正数,用黑色的小棍摆出的数表示负数;也可以用斜摆的小棍表示负数,用正摆的小棍表示正数。

与中国相仿,印度人也很早就认识了负数,并很快将它传入了阿拉伯国家。负数给数学带来了新的活力。它的优点得到了阿拉伯人充分的肯定,他们还将负数热情地传入欧洲,但在欧洲负数却受到了冷遇,欧洲的数学家认为负数是“荒唐的东西”,是“假数”。甚至到了1831年,欧洲人还坚持认为负数是虚构的。但是在数学史上给负数以其应有地位的还是欧洲的数学家们。欧洲的数学家将负整数和自然数进行整合并提出了整数,并为整数奠定了加减乘除等逻辑运算基础。负数虽历尽艰难,但最终还是正襟危坐于欧洲数学的大雅之堂。

三、分数的产生

而分数的产生又使得数的领域扩充到了有理数。

在生活中,人们在度量时或者平均分配时往往不能正好得到整数的结果,因此产生了分数。3000多年前,古埃及人就发现了分数。2000多年前,中国有了分数,随后印度也出现了分数。而真正使分数完整的还要属阿拉伯人了。那,你们知道分数线是哪国人发明的吗?阿拉伯人,今天分数的表示法就由此而来。

分数和小数分不开,所有的分数都可以表示成小数,可不一定所有的小数能表示成分数,我们知道小数可以分为有限小数和无限小数。无限小数又可以分为“无限循环小数”和“无限不循环小数”。其中的“无限不循环小数”就不可以表示成分数(我们会在无理数的部分详细的介绍)。

四、有理数的产生

分数的产生使得数系扩充到了有理数。也就是,整数和分数统称为有理数。有理数是有道理的数吗?当然不是,《几何原本》中,将整数和分数统称为“可比数”,而把哪些不能表示为一个整数或者两个整数之比的数,称为“不可比数”。 明朝初期,《几何原本》传入中国,我国数学家徐光启将可比数译为一个理字,其本意是“比值”,但后来被错误地翻译为理性或者是有道理,并且一直沿用至今,就是我们今天所熟知的有理数。其实它并不是有道理的数,而是来源于古希腊,人们对整数和分数的一种统称。

五、第一次数学危机——无理数的产生

无理数的产生使得数系扩充到了实数。也就是有理数和无理数统称为实数。提到无理数,不得不说到数学史上的三大数学危机:第一次数学危机就是无理数的产生;微积分的产生引发了数学史上的第二次数学危机;集合论的产生引发了数学史上的第三次数学危机。

造成第一次数学危机的无理数就是这个根号二。而提到根号二不得不提到毕达哥拉斯学派,这个学派坚信“万物皆数”,他们认为任何数都可以用整数以及整数与整数之间的比也就是分数来表示。可毕达哥拉斯学派的一个成员“希帕索斯”,他在计算边长为1的正方形其对角线长度是多少时,发现这一长度不能用整数,也不能用分数的形式表示,而只能用一个新数(根号二)来表示。这一小小的发现,在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上,这一伟大发现对于当时所有古希腊人都是一个极大的冲击。他为此被人们投进了大海。堡垒往往是由内部攻破的,在帕西索斯为数学献身的若干年后,同样是毕达哥拉斯学派的其他数学家们发现了确实存在这样一个数,不能用整数及分数的形式表示,这就是无理数。无理数就是我们刚才提到的“无限不循环的小数”。

常见的无理数大致有三种:(1)圆周率π,只要和π有关系的基本上都是无理数;(2)开方开不尽的数(例如根号2);(3)还有这类数:例如:0.101001000100001……,虽然它有规律,但是这个规律是不循环的,每次都多一个0,并且是无限的,满足这两条的就称之为无理数。

无理数的产生使得数系扩充到了实数。而虚数的产生使得数系进一步扩充到了复数。人类为什么要创造复数呢?可以说没有复数便没有近代文明。那什么是复数呢?我们通过一段视频了解一下吧!

我们刚刚说到实数和虚数统称为复数。那什么是虚数呢?人们在解方程时经常会遇到这样一个看似简单的一元二次方程x2+1=0。而这个方程在实数范围内是没有解的。因为一个实数的平方怎么可能是小于零的数呢。可是在数学研究中会经常遇到这样的方程,于是16世纪时,数学家第一次大胆使用了虚数这个概念。并声明这个是虚构的,因此称它为”虚数”。从中可以看出数学家在使用虚数时并不那么理直气壮。但有趣的是,虚数非常顽强,它如同实数的影子,不仅同实数形影不离,而且还常常同实数结合起来,构成复数。 虚数也因此被称为“实数的鬼魂”。在200年的时间里,虚数一直披着一层神秘的面纱,到了1797年,数学家借助于笛卡儿的平面坐标系赋予了虚数的几何意义,才确立了虚数的合理地位。而伟大的数学家高斯使平面直角坐标系上的点和复数建立了一一对应的关系,之后虚数才广为人知。

而虚数到底是什么呢?存在这样一个数i,并且i2=-1,这里的i称为虚数单位。复数就可以表示为Z=a+bi,其中a是实部,b是虚部。当实部a等于零时,这个数就是纯虚数,当虚部b等于零时,这个数就是实数,而当a、b都不为零时,就是复数。因为如果用横轴表示全体实数,纵轴表示全体虚数,平面上每一点对应着一个复数,这个直角坐标系就称为复平面。

六、复数

看到这里,同学们可以发现,数不仅有大小,这个复数还有方向。它有着其他数所没有的优良特性。这就是人类创造复数的原因。那么同学们猜测,复数之后是否还有其他数的加入呢?从历史经验的角度看,数的队伍将会越来越壮大,就好比早期物理学家认为原子是组成物体的最小单元,但随着物理学的发展,物理学家发现原子里面还有质子和中子,但人类认识事物的脚步从未停止,现在物理学家又发现了比质子和中子更小的夸克。所以,我们可以断定,数的领域还会有新的成员加入。

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